Évaluation de type A d'une incertitude-type
Écart-type expérimental d'une mesure
Pour une grandeur \(X\) estimée à partir de \(n\) observations répétées indépendantes (ce qui signifie que les variables \(X_i\) sont indépendantes), obtenues dans les mêmes conditions de mesure, \(x_1, x_2,...,x_n\) le nombre \(s^2(X)=\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\overline{x}\right)^2\) est la « meilleure » estimation de la variance de \(X\) notée \(\sigma^2(X)\) .
\(s(X)\) représente une estimation de la dispersion \(\sigma (X)\) des valeurs prises par \(X\) autour de la moyenne.
\(s(X)\) est appelé écart-type expérimental d'une mesure
Fondamental : Incertitude-type
L'écart-type expérimental de la moyenne \(s\left( \overline{X} \right)\) est utilisé comme estimation de l'incertitude[1] de la moyenne \(\overline{X}\) .
Définition :
Si une grandeur \(X\) est estimée à partir de \(n\) observations répétées indépendantes \(x_1, x_2,...,x_n\), alors l'incertitude-type \(u(x)\) sur son estimation \(\bar{x}=\frac{x_1+x_2+...x_n}{n}\) est \(s\left(\overline{x}\right)=\frac{s(x)}{\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n}} \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} \left( x_i-\overline{x}\right)^2}{n-1}}\)
Exemple : Résistance d'un conducteur ohmique
On effectue le mesurage[2] à l'aide d'un ohmmètre de la résistance[3] d'un conducteur ohmique. On obtient 5 mesures.
mesure | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
mesurande \(\left(\Omega\right)\) | \(998\) | \(1022\) | \(1007\) | \(1003\) | \(989\) |
La valeur moyenne des valeurs obtenues est :
\(\overline{R}=\frac{1}{5}\times \sum_{i=1}^5 R_i=1003{,}8\;\Omega\)
L'écart-type expérimental d'une mesure de la distribution des valeurs est :
\(\begin{align}s(R)&=\sqrt{\frac{1}{n-1}\times \sum_{i=1}^{n} \left( R_i-\overline{R}\right)^2}\\&=\sqrt{\frac{1}{4}\times \left( 5{,}8^2+18{,}2^2+3{,}2^2+0{,}8^2+14{,}8^2\right)}\\&=12{,}2\;\Omega\end{align}\)
L'incertitude-type \(u(R)\) est donnée par l'expression :
\(\begin{align}u(R)&=\frac{s(R)}{\sqrt{n}}\\&=\frac{12{,}2}{\sqrt{5}}\\&=5{,}45\;\Omega\end{align}\)
L'incertitude élargie pour un niveau de confiance de 95% est notée \(U(R)\). Elle est donnée par le produit de l'incertitude-type et du coefficient de student dont la valeur dépend du nombre de valeurs ainsi que du niveau de confiance.
\(\begin{align} U(R)&=t_{95\%} \times u(R)\\&=2{,}78\times 5{,}4\\&=15{,}1\;\Omega \end{align}\)
L'écriture finale du résultat est :
\(R=\overline{R}\pm U(R)\)
\(R=1004\pm15\;\Omega\)