Théorie statistique : Méthode des moindres carrés
Rappel : Analyse statistique à une variable
Si on réalise \(n\) mesures de \(x\), avec les résultats \(x_1, x_2, ..., x_n\), on écrira le résultat final sous la forme :
\[x=\overline{x}\pm\frac{s}{\sqrt{n}}\]
avec \(\overline{x}\) et \(\frac{s}{\sqrt{n}}\)[1] les meilleures estimations de la valeur vraie (toujours inconnue) et de l'incertitude-type.
Définition : Régression linéaire
Dans de nombreux cas, on cherche à savoir dans quelle mesure des données expérimentales s'accordent avec une loi linéaire du type \(y=a+b\;x\).
Dans le cas où toutes les mesures de \(y\) ont la même incertitude-type, la méthode des moindres carrés consiste à chercher les valeurs de \(a\) et \(b\) qui rendent minimum :
\[\sum_{i=1}^{n} \left( y_i-(a\;x_i+b)\right)^2\]
La minimisation conduit à :
\[a=\frac{n \sum_{i=1}^{n} x_i y_i-\sum_{i=1}^{n} x_i \sum_{i=1}^{n} y_i}{\Delta}\]
\[b=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2 \; \sum_{i=1}^{n} y_i-\sum_{i=1}^{n} x_i \; \sum_{i=1}^{n} x_i y_i}{\Delta}\]
\[\Delta = n\times \sum_{i=1}^{n} x_i^2 -\left( \sum_{i=1}^{n} x_i \right)^2\]
Complément : Incertitudes-type sur les coefficients a et b
On se place dans le cas où toutes les mesures de \(y\) ont la même incertitude. On obtient alors :
\[\sigma_a = \sigma_y \sqrt{\frac{n}{\Delta}}\]
\[\sigma_b = \sigma_y \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i^2}{\Delta}}\]
avec \(\sigma_y=\sigma_y^{stat}\) et :
\[\sigma_{y}^{stat}=\sqrt{\frac{1}{n-2} \sum_{i=1}^{n} \left( y_i - (a\times x_i+b) \right)^2 }\]
Exemple : On dispose de trois mesures (nombre minimum pour la méthode) courant-tension pour un dipôle ohmique de valeur de référence 47 ohms
\(i (A)\) | \(u (V)\) | résidus : \(u-(a\times i+b)\) |
|---|---|---|
0.0429 | 2.05 | 0.01124 |
0.0630 | 2.96 | -0.02165 |
0.0847 | 4.01 | 0.01041 |
\(\sum i_k=0.1906\) | \(\sum u_k=9.02\) | \(\sum (residus)^2=7.033\times 10^{-4}\) |
\(\sum (i_k)^2=0.01298\) | \(\sum u_k i_k=0.6141\) |
\(\Delta=3\times 0.01298-(0.1906)^2=0.002622 \;(A^2)\)
Dans le modèle \(u=a\times i+b\), les coefficients ont pour valeurs :
\(a=\frac{3\times 0.6141-0.1906\times 9.02}{0.002622}=46.94 \:\Omega\)
\(b=\frac{0.01298\times 9.02-0.1906\times 0.6141}{0.002622}=0.026 \;(V)\)
L'incertitude-type sur les valeurs de u est :
\(\sigma_u=\sqrt{\frac{1}{3-2}\times 7.033\times 10^{-4}}=0.02652 \;V\)
Donc l'incertitude-type sur la valeur de a est :
\(\sigma_a=0.02652\sqrt{\frac{3}{0.002622}}=0.8971 \;\Omega\)
Le résultat final s'écrit :
\(R=46.9\pm 0.9 \;\Omega\)